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14 de agosto de 2011

Magia en las matemáticas: simetrías y números primos

En esta nueva entrada de nuestro blog, vamos a seguir adentrándonos en el mundo de las matemáticas... pero no desde la perspectiva que solemos tener, de una asignatura farragosa que os hace pasar malos ratos en el Instituto o la Universidad... sino desde la belleza y la magia que los números pueden llegar a mostrar.

Marcus du Sautoy
Los números están presentes en cada paso que damos, en cada elemento a nuestro alrededor... las formas, las texturas, los tamaños de los objetos, la manera que tenemos de comunicarnos, la misma música que escuchamos... no son sino distintas formas de manifestar el lenguaje matemático...

¡Las matemáticas son mágicas! Si esta afirmación te hace sonreir porque piensas justo lo contrario, debes ver el siguiente vídeo, de unos 28 minutos de duración, en la que el divulgador científico Eduard Punset entrevista en su programa Redes de RTVE al matemático, escritor y presentador inglés Marcus du Sautoy. En ella vamos a poder observar dos puntos de vista apasionantes de las matemáticas: las simetrías y su aparición en la naturaleza (por ejemplo a través de la famosa Sucesión de Fibonacci), y en segundo lugar, los números primos con su magia particular.

Esta segunda parte acerca de los números primos es apasionante. Todos sabemos qué son los números primos: aquellos que solo pueden ser divididos por la unidad o por ellos mismos para que el resultado sea un número entero. Todos somos capaces de recordar algunos de ellos, los más sencillos: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13... Pero, ¿sabes que el mayor número primo conocido tienen nada menos que casi trece millones de dígitos?

Por otra parte, los números primos son básicos a la hora de manejarnos por este medio a través del cual lees esta información: Internet. La criptografía de Internet, tal y como se muestra brevemente en el vídeo, está basada en los números primos, de tal manera que si se consiguen alcanzar ciertos avances científicos en mecánica cuántica, corren serio peligro todos los sistemas de pagos seguros en la red.

No te descubro más cosas, ten paciencia y saca un rato de las vacaciones para visionar el reportaje. Quizá a su término veas las matemáticas desde otra perspectiva y pueda ser el momento de dejar de verlas como un obstáculo en tus estudios.


Si quieres seguir ampliando toda esta información, solo queda recomendarte las dos publicaciones traducidas al castellano de Marcus du Sautoy:

La música de los números primos
Marcus du Sautoy
El Acantilado
526 páginas
ISBN: 978-84-96489-83-7
29,00 €





Simetría: Un viaje por los patrones de la Naturaleza
Marcus du Sautoy
El Acantilado
501 páginas
ISBN: 978-84-92649-17-4
29,00 €






20 de diciembre de 2010

Lotería de Navidad: ¿Qué probabilidad hay de que te toque el gordo?

Vamos a ser claros desde el principio… la probabilidad de que te toque el gordo de la Lotería de Navidad es bastante baja, eso no lo duda nadie. Aunque para ser justos hay que reconocer que este sorteo no es ni mucho menos el peor en lo que a probabilidad de acierto se refiere.

En esta entrada daremos algunos datos del sorteo de la Lotería de Navidad, con los que calcularemos algunas probabilidades. Además, comentaremos qué es, a grandes rasgos, la esperanza matemática.

¿Qué probabilidad tenemos de que nos toque el Gordo?

Como hemos dicho antes, vamos a comenzar siendo claros y directos. Teniendo en cuenta que en el sorteo de Navidad de la Lotería Nacional entran en el bombo 85.000 números, la probabilidad de que nuestro décimo (suponiendo que sólo tengamos uno) sea el premiado es:


Esto es, bajísima. Y no podía ser de otra manera. Si un sorteo de este tipo está bien pensado y estudiado, la probabilidad de llevarse el premio gordo debe ser muy baja.

Bien, vamos a ser un poco menos ambiciosos. Partiendo de la base de que hemos comprado un décimo, ¿cuál es la probabilidad de obtener algún premio (aunque sea el reintegro)? Pues vamos a ver algunos datos sobre los distintos premios que ofrece este sorteo.

La emisión de billetes del Sorteo de Navidad consta de 195 series de 85.000 billetes. Cada uno de estos billetes consta de 10 décimos, por lo que tenemos 1.950 décimos de cada uno de los números que entran en sorteo. Dado que se entregan 13.334 premios entre el Gordo, el segundo, el tercero, los cuartos, los quintos, las aproximaciones a algunos de ellos, las “pedreas” y los reintegros, tenemos que en este sorteo habrá 26.001.300 décimos premiados (esto es, el producto de los 13.334 premios por los 1950 décimos que tiene cada número). Teniendo en cuenta que en total se venden 85.000 · 10 · 195=165.750.000 décimos, se tiene que la probabilidad de que nuestro décimo obtenga algún premio es la siguiente:


No es gran cosa (evidentemente), pero esto ya está mejor. Un 15% de posibilidades de “pillar” premio con nuestro décimo…

¿Cómo es este sorteo comparándolo con otros?

O lo que es lo mismo… ¿cómo es de bueno ese tanto por ciento? Pues, comparándolo con otros sorteos que se hacen en España la verdad es que no está mal. Por poner un par de ejemplos, en la Quiniela hay 14.348.907 combinaciones de resultados distintas, por lo que la probabilidad de acertar una de 15 aciertos con una apuesta simple es de:


Aunque bueno, como se pueden hacer apuestas múltiples y los conocimientos de la competición (y todo lo que la rodea) también influyen, en realidad la probabilidad podría ser más alta.

En la Lotería Primitiva tenemos un total de 13.983.816 combinaciones distintas, por lo que la probabilidad de acertar una de 6 aciertos es:


También bastante más baja que la de la Lotería de Navidad, aunque algo más alta que la de la Quiniela.

Y posiblemente el Euromillón se lleve la palma, ya que entre los cinco números a elegir entre el 1 y el 50 y las dos estrellas entre el 1 y el 9 tenemos la friolera de 76.275.360 combinaciones distintas, por lo que la probabilidad de acertar el premio mayor es irrisoria:


Teniendo en cuenta todo esto creo que, aunque nunca hay que perder la ilusión, es bastante irracional basar nuestro futuro económico en que nos toque el Gordo, la Quiniela, la Primitiva o el Euromillón (lo que dice la frase anterior es más que evidente, pero con todo y con eso todavía hay gente que confunde ilusión con posibilidades reales y sigue pensando que en algún momento le tocará la lotería y podrá dejar de trabajar).

De todas formas, si comparamos la Lotería de Navidad con los otros tres juegos de azar, la primera tiene una ventaja sobre los demás: a alguien tiene que tocarle. Sería tremendamente extraño que no se vendiera ningún décimo de alguno de los números que entran en sorteo, por lo que el día 22 de diciembre justo antes del sorteo alguien (de hecho bastante gente) tendrá un décimo correspondiente al Gordo de la Lotería de Navidad sin saberlo todavía. En los otros tres cabe la posibilidad de que el premio mayor no le toque a nadie, ya que hay tantas combinaciones posibles que en principio no tienen por qué haberse jugado todas en todos los sorteos. Pero de todas formas, si pensáramos con mente de matemático, posiblemente no jugaríamos a ninguno de ellos, ya que es prácticamente seguro que perderemos el dinero apostado.

¿Cómo medir qué esperamos ganar? La Esperanza Matemática

Pero en realidad jugamos, y mucha gente lo hace a todos. Y, concretando en el Sorteo de Navidad, muchas veces jugamos por si acaso, por llamarlo de alguna manera. Me explico. ¿Por qué compramos lotería en nuestro lugar de trabajo? Porque como toque y yo no lleve… a ver quién aguanta a los compañeros. ¿Por qué compramos en el bar dónde tomamos habitualmente el aperitivo? Porque como toque y no lleve… después de ir al bar a diario… me matan por tonto. ¿Por qué, en general, compramos prácticamente siempre que alguien nos ofrece? Porque como toque y no lleve… después de que me la ofrecieron… me van a llamar de todo.

Bueno, en resumidas cuentas, todos compramos Lotería de Navidad. Partiendo de eso, ¿cuánto esperamos ganar?

En Teoría de Probabilidades hay una medida que nos puede decir lo que podemos esperar ganar en este tipo de juegos. Y, como no podía ser de otra forma, se denomina Esperanza Matemática (o simplemente Esperanza). No me voy a meter a definir formalmente esta medida, entre otras razones porque no soy matemático, pero voy a contar un poco qué significa en este tipo de juegos. Para estos sorteos la esperanza se calcula de la siguiente forma:

E={Premio}*{Probabilidad de acertar}-{Cantidad pagada}*{Probabilidad de no acertar}

Por ello en estas situaciones la esperanza puede decirnos cuál es la cantidad que esperamos ganar con nuestra apuesta, teniendo en cuenta la probabilidad de acertar y la de no acertar, el gasto que tenemos que hacer y el premio que conseguimos si acertamos.

Vamos a ver algunos ejemplos sencillos:

- Supongamos que tenemos que pagar 1 € para jugar al siguiente juego: se tira una moneda al aire, si sale cara nos dan 5 € y si sale cruz no nos dan nada. Tenemos entonces una probabilidad 0,5 de ganar y lo mismo de perder. La esperanza de este juego es la siguiente:


Esto es, por cada euro gastado se espera que ganemos 2 €. Está bien el juego entonces (es un juego favorable para el jugador).

- Supongamos ahora que tenemos que pagar 1 € por jugar al siguiente juego: se lanza un dado al aire, si sale un 4 nos pagan 5 € y si sale cualquier otro perdemos nuestro euro. Tenemos, por tanto, una probabilidad 1/6 de ganar y una probabilidad 5/6 de perder. La esperanza en este caso es:


Esto significa que no esperamos ni ganar ni perder nada (es lo que se denomina un juego justo).

- Veamos qué ocurre ahora con este juego, por el que también pagamos 1 € por jugar: se meten diez bolas en una urna numeradas del 1 al 10 y sacamos una de las bolas. Si sale un 7 nos pagan 5 € y si sale cualquier otro no recibimos nada y nos quedamos sin nuestro euro. Aquí tenemos una probabilidad 0,1 de ganar y una probabilidad 0,9 de perder, por lo que la esperanza es:


Uhmmm… mal asunto, ya que cada vez que juguemos se espera que perdamos 0,4 € (esto es un juego desfavorable para el jugador).

Ya que más o menos hemos nos hemos debido quedar con la idea de esperanza matemática, ¿qué esperáis que sea cualquiera de los sorteos comentados anteriormente (en particular el Sorteo de Navidad)? Pues, claramente, un juego desfavorable para el jugador (mal asunto para las arcas del Estado si la cosa no fuera así). Esto, como se ha visto en el último ejemplo, significa que lo que podemos esperar participando en este sorteo es que perdamos dinero. Por ello, como dijimos anteriormente, si pensamos con mente matemática no deberíamos jugar… aunque a la postre todos, matemáticos o no, terminaremos comprando Lotería de Navidad por si acaso.

21 de noviembre de 2010

Fábrica de fractales: los colores del infinito de Mandelbrot

El pasado mes de Octubre publicamos una entrada acerca de la muerte de Benoît Mandelbrot, creador de la geometría fractal. Esta entrada ha provocado la curiosidad de alguno de vosotros, alumnos y lectores, acerca de ese nuevo concepto que muchos de vosotros es la primera vez que véis: los fractales.

Los fractales son formas geométricas autosemejantes que pueden ser magnificadas (incluso a un tamaño mayor que el del universo físico) o divididas y y siguen conservando los mismos patrones de la imagen original: como ver en una piedra la forma de la montaña a la que pertenece o una galaxia en una huella digital.

Benoit Mandelbrot, el genio tímido francés, acuñó el término fractal luego de que descubriera el conjunto que lleva su nombre en 1980. En realidad la naturaleza fractal del espacio pudo haber sido descubierta en cualquier punto de la historia, pero fue necesaria la aparición de computadoras capaces de realizar millones de operaciones para combrobar su existencia ad infinitum.

Aplicando la fórmula Zn + 1 = Zn2 + c a un plano complejo se forma la imagen característica del Conjunto de Mandelbrot ("se ve como un hombre, como un gato, como un cactus, como una cucaracha, nos recuerda casi todo lo que está vivo y sin embargo es en sí misma única y nueva"). Si nos acercamos (zoom) a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.


En una pantalla escoge un píxel y aplica las iteraciones del Conjunto de Mandelbrot y el píxel desaparece o se fractaliza, se va cero o hacia el infinito, el que va a cero se colorea en negro y el que va hacia el infinito se colorea de algún color arbitrario: un ciclo de colores revela la complejidad extraordinaria de la variación de un conjunto.

Los árboles o las nubes, no son triángulos o círculos pero sí tienen un patrón: la forma geométrica de la naturaleza no es definible por una forma tradicional, la forma más precisa de describirla es a través de fractales.

En las iteraciones de Mandelbrot el output de una operación se vuelve el input de la otra y viceversa.

Lo extraordinario del conjunto de Mandelbrot es que es infinitamente complejo pero está basado en principios sumamente simples.

En un momento del vídeo se muestra como la naturaleza está llena de fractales que obedecen un principio de iteración matemática.

El ADN en el huevo de una mariposa ya tiene el patrón de las formas mírificas de las alas de una mariposa.

"Una vez que desarrollas el ojo del matemático de fractales, los ves en todas partes, cada cosa que ves está descrita como una referencia de sí misma o de otra cosa". Como un diccionario hecho de imágenes autorreferentes, una matriz de transformaciones que vinculan a traves de las formas a todas las cosas con una misma arquiesencia.

Los fractales nos recuerdan que todo puede ser conectado.

Fractales en el cielo, en los anillos de Saturno, fractales en el átomo, en el espín de los electrones (como arriba, es abajo) ¿el universo subatómico tiene un límite o desciende hasta el infinito?

Lo sé, no tenéis que decirme nada: todo esto parece muy complejo. De modo que dejaremos que sea Arthur C. Clarke quien nos guíe en nuestros primeros pasos por la geometría fractal. Tomad asiento, buscad una bebida en vuestro frigorífico... aquí os dejo con el vídeo Fractales: Los colores del infinito.



30 de octubre de 2010

Ha muerto Benoît Mandelbrot, creador de la Geometría Fractal

El matemático Benoît Mandelbrot, creador de la geometría fractal, falleció el pasado jueves 14 de octubre en la ciudad de Cambridge en Massachusetts a los 85 años. Se le considera el padre de la geometría fractal, un campo de las matemáticas en el que fue considerado pionero y divulgador. El término fractal, del latín "fractus", roto, fue acuñado por Mandelbrot en 1975.

Había nacido en 1924 en Varsovia y emigrado a Francia en 1936 donde su tío Szolem, profesor de matemáticas en el Collège de France, le inicia en esta materia. Se doctoró en Matemáticas en 1952 en la Universidad de Paris. Se trasladó al MIT y a Pricenton donde coincidió con John von Neumann. Desde 1958 trabajó en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson de IBM en Nueva York.

El padre de la geometría fractal desarrolló sus ideas mientras intentaba determinar cuál era la longitud de las costas británicas en un artículo publicado en la revista Science en 1967 donde expuso sus ideas iniciales sobre los fractales.

En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature, en el que explicaba sus investigaciones en este campo. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión que la geometría convencional. Y permite una nueva interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza.

Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana. Según escribe en el prologo del libro citado anteriormente: “las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta”.

Es difícil dar con una descripción universal y absoluta del término fractal. Una de sus propiedades consiste en que la estructura de sus partes es similar (no necesariamente idéntica) a la del conjunto entero.

Algunos ejemplos son un árbol, con sus ramas; una coliflor, aparentemente formada por un sinfín de minicoliflores unidas; la línea de costa de un país, un copo de nieve... Los fractales en la actualidad son indispensables en numerosas disciplinas.

Las formas fractales están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías y las espirales, como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan hechos extraordinarios, que dan lugar a nuevas realidades más complejas.

Las formas fractales se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos estudiados en la Teoría del Caos. En los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja (ciclos) Las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

Se encuentran ejemplos de objetos fractales en ciencias sociales como la economía en el estudio del genoma humano, en la modelización del tiempo...

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