Lotería de Navidad: ¿Qué probabilidad hay de que te toque el gordo?

Vamos a ser claros desde el principio… la probabilidad de que te toque el gordo de la Lotería de Navidad es bastante baja, eso no lo duda nadie. Aunque para ser justos hay que reconocer que este sorteo no es ni mucho menos el peor en lo que a probabilidad de acierto se refiere.

En esta entrada daremos algunos datos del sorteo de la Lotería de Navidad, con los que calcularemos algunas probabilidades. Además, comentaremos qué es, a grandes rasgos, la esperanza matemática.

¿Qué probabilidad tenemos de que nos toque el Gordo?

Como hemos dicho antes, vamos a comenzar siendo claros y directos. Teniendo en cuenta que en el sorteo de Navidad de la Lotería Nacional entran en el bombo 85.000 números, la probabilidad de que nuestro décimo (suponiendo que sólo tengamos uno) sea el premiado es:

Esto es, bajísima. Y no podía ser de otra manera. Si un sorteo de este tipo está bien pensado y estudiado, la probabilidad de llevarse el premio gordo debe ser muy baja.

Bien, vamos a ser un poco menos ambiciosos. Partiendo de la base de que hemos comprado un décimo, ¿cuál es la probabilidad de obtener algún premio (aunque sea el reintegro)? Pues vamos a ver algunos datos sobre los distintos premios que ofrece este sorteo.

La emisión de billetes del Sorteo de Navidad consta de 195 series de 85.000 billetes. Cada uno de estos billetes consta de 10 décimos, por lo que tenemos 1.950 décimos de cada uno de los números que entran en sorteo. Dado que se entregan 13.334 premios entre el Gordo, el segundo, el tercero, los cuartos, los quintos, las aproximaciones a algunos de ellos, las “pedreas” y los reintegros, tenemos que en este sorteo habrá 26.001.300 décimos premiados (esto es, el producto de los 13.334 premios por los 1950 décimos que tiene cada número). Teniendo en cuenta que en total se venden 85.000 · 10 · 195=165.750.000 décimos, se tiene que la probabilidad de que nuestro décimo obtenga algún premio es la siguiente:

No es gran cosa (evidentemente), pero esto ya está mejor. Un 15% de posibilidades de “pillar” premio con nuestro décimo…

¿Cómo es este sorteo comparándolo con otros?

O lo que es lo mismo… ¿cómo es de bueno ese tanto por ciento? Pues, comparándolo con otros sorteos que se hacen en España la verdad es que no está mal. Por poner un par de ejemplos, en la Quiniela hay 14.348.907 combinaciones de resultados distintas, por lo que la probabilidad de acertar una de 15 aciertos con una apuesta simple es de:

Aunque bueno, como se pueden hacer apuestas múltiples y los conocimientos de la competición (y todo lo que la rodea) también influyen, en realidad la probabilidad podría ser más alta.

En la Lotería Primitiva tenemos un total de 13.983.816 combinaciones distintas, por lo que la probabilidad de acertar una de 6 aciertos es:

También bastante más baja que la de la Lotería de Navidad, aunque algo más alta que la de la Quiniela.

Y posiblemente el Euromillón se lleve la palma, ya que entre los cinco números a elegir entre el 1 y el 50 y las dos estrellas entre el 1 y el 9 tenemos la friolera de 76.275.360 combinaciones distintas, por lo que la probabilidad de acertar el premio mayor es irrisoria:

Teniendo en cuenta todo esto creo que, aunque nunca hay que perder la ilusión, es bastante irracional basar nuestro futuro económico en que nos toque el Gordo, la Quiniela, la Primitiva o el Euromillón (lo que dice la frase anterior es más que evidente, pero con todo y con eso todavía hay gente que confunde ilusión con posibilidades reales y sigue pensando que en algún momento le tocará la lotería y podrá dejar de trabajar).

De todas formas, si comparamos la Lotería de Navidad con los otros tres juegos de azar, la primera tiene una ventaja sobre los demás: a alguien tiene que tocarle. Sería tremendamente extraño que no se vendiera ningún décimo de alguno de los números que entran en sorteo, por lo que el día 22 de diciembre justo antes del sorteo alguien (de hecho bastante gente) tendrá un décimo correspondiente al Gordo de la Lotería de Navidad sin saberlo todavía. En los otros tres cabe la posibilidad de que el premio mayor no le toque a nadie, ya que hay tantas combinaciones posibles que en principio no tienen por qué haberse jugado todas en todos los sorteos. Pero de todas formas, si pensáramos con mente de matemático, posiblemente no jugaríamos a ninguno de ellos, ya que es prácticamente seguro que perderemos el dinero apostado.

¿Cómo medir qué esperamos ganar? La Esperanza Matemática

Pero en realidad jugamos, y mucha gente lo hace a todos. Y, concretando en el Sorteo de Navidad, muchas veces jugamos por si acaso, por llamarlo de alguna manera. Me explico. ¿Por qué compramos lotería en nuestro lugar de trabajo? Porque como toque y yo no lleve… a ver quién aguanta a los compañeros. ¿Por qué compramos en el bar dónde tomamos habitualmente el aperitivo? Porque como toque y no lleve… después de ir al bar a diario… me matan por tonto. ¿Por qué, en general, compramos prácticamente siempre que alguien nos ofrece? Porque como toque y no lleve… después de que me la ofrecieron… me van a llamar de todo.

Bueno, en resumidas cuentas, todos compramos Lotería de Navidad. Partiendo de eso, ¿cuánto esperamos ganar?

En Teoría de Probabilidades hay una medida que nos puede decir lo que podemos esperar ganar en este tipo de juegos. Y, como no podía ser de otra forma, se denomina Esperanza Matemática (o simplemente Esperanza). No me voy a meter a definir formalmente esta medida, entre otras razones porque no soy matemático, pero voy a contar un poco qué significa en este tipo de juegos. Para estos sorteos la esperanza se calcula de la siguiente forma:

E={Premio}*{Probabilidad de acertar}-{Cantidad pagada}*{Probabilidad de no acertar}

Por ello en estas situaciones la esperanza puede decirnos cuál es la cantidad que esperamos ganar con nuestra apuesta, teniendo en cuenta la probabilidad de acertar y la de no acertar, el gasto que tenemos que hacer y el premio que conseguimos si acertamos.

Vamos a ver algunos ejemplos sencillos:

- Supongamos que tenemos que pagar 1 € para jugar al siguiente juego: se tira una moneda al aire, si sale cara nos dan 5 € y si sale cruz no nos dan nada. Tenemos entonces una probabilidad 0,5 de ganar y lo mismo de perder. La esperanza de este juego es la siguiente:

Esto es, por cada euro gastado se espera que ganemos 2 €. Está bien el juego entonces (es un juego favorable para el jugador).

- Supongamos ahora que tenemos que pagar 1 € por jugar al siguiente juego: se lanza un dado al aire, si sale un 4 nos pagan 5 € y si sale cualquier otro perdemos nuestro euro. Tenemos, por tanto, una probabilidad 1/6 de ganar y una probabilidad 5/6 de perder. La esperanza en este caso es:

Esto significa que no esperamos ni ganar ni perder nada (es lo que se denomina un juego justo).

- Veamos qué ocurre ahora con este juego, por el que también pagamos 1 € por jugar: se meten diez bolas en una urna numeradas del 1 al 10 y sacamos una de las bolas. Si sale un 7 nos pagan 5 € y si sale cualquier otro no recibimos nada y nos quedamos sin nuestro euro. Aquí tenemos una probabilidad 0,1 de ganar y una probabilidad 0,9 de perder, por lo que la esperanza es:

Uhmmm… mal asunto, ya que cada vez que juguemos se espera que perdamos 0,4 € (esto es un juego desfavorable para el jugador).

Ya que más o menos hemos nos hemos debido quedar con la idea de esperanza matemática, ¿qué esperáis que sea cualquiera de los sorteos comentados anteriormente (en particular el Sorteo de Navidad)? Pues, claramente, un juego desfavorable para el jugador (mal asunto para las arcas del Estado si la cosa no fuera así). Esto, como se ha visto en el último ejemplo, significa que lo que podemos esperar participando en este sorteo es que perdamos dinero. Por ello, como dijimos anteriormente, si pensamos con mente matemática no deberíamos jugar… aunque a la postre todos, matemáticos o no, terminaremos comprando Lotería de Navidad por si acaso.