Fábrica de fractales: los colores del infinito de Mandelbrot

El pasado mes de Octubre publicamos una entrada acerca de la muerte de Benoît Mandelbrot, creador de la geometría fractal. Esta entrada ha provocado la curiosidad de alguno de vosotros, alumnos y lectores, acerca de ese nuevo concepto que muchos de vosotros es la primera vez que véis: los fractales.

Los fractales son formas geométricas autosemejantes que pueden ser magnificadas (incluso a un tamaño mayor que el del universo físico) o divididas y y siguen conservando los mismos patrones de la imagen original: como ver en una piedra la forma de la montaña a la que pertenece o una galaxia en una huella digital.

Benoit Mandelbrot, el genio tímido francés, acuñó el término fractal luego de que descubriera el conjunto que lleva su nombre en 1980. En realidad la naturaleza fractal del espacio pudo haber sido descubierta en cualquier punto de la historia, pero fue necesaria la aparición de computadoras capaces de realizar millones de operaciones para combrobar su existencia ad infinitum.

Aplicando la fórmula Z_n + 1 = Z_n² + c a un plano complejo se forma la imagen característica del Conjunto de Mandelbrot ("se ve como un hombre, como un gato, como un cactus, como una cucaracha, nos recuerda casi todo lo que está vivo y sin embargo es en sí misma única y nueva"). Si nos acercamos (zoom) a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.

Puedes generar fractales en esta web.

En una pantalla escoge un píxel y aplica las iteraciones del Conjunto de Mandelbrot y el píxel desaparece o se fractaliza, se va cero o hacia el infinito, el que va a cero se colorea en negro y el que va hacia el infinito se colorea de algún color arbitrario: un ciclo de colores revela la complejidad extraordinaria de la variación de un conjunto.

Los árboles o las nubes, no son triángulos o círculos pero sí tienen un patrón: la forma geométrica de la naturaleza no es definible por una forma tradicional, la forma más precisa de describirla es a través de fractales.

En las iteraciones de Mandelbrot el output de una operación se vuelve el input de la otra y viceversa.

Lo extraordinario del conjunto de Mandelbrot es que es infinitamente complejo pero está basado en principios sumamente simples.

En un momento del vídeo se muestra como la naturaleza está llena de fractales que obedecen un principio de iteración matemática.

El ADN en el huevo de una mariposa ya tiene el patrón de las formas mírificas de las alas de una mariposa.

"Una vez que desarrollas el ojo del matemático de fractales, los ves en todas partes, cada cosa que ves está descrita como una referencia de sí misma o de otra cosa". Como un diccionario hecho de imágenes autorreferentes, una matriz de transformaciones que vinculan a traves de las formas a todas las cosas con una misma arquiesencia.

Los fractales nos recuerdan que todo puede ser conectado.

Fractales en el cielo, en los anillos de Saturno, fractales en el átomo, en el espín de los electrones (como arriba, es abajo) ¿el universo subatómico tiene un límite o desciende hasta el infinito?

Lo sé, no tenéis que decirme nada: todo esto parece muy complejo. De modo que dejaremos que sea Arthur C. Clarke quien nos guíe en nuestros primeros pasos por la geometría fractal. Tomad asiento, buscad una bebida en vuestro frigorífico... aquí os dejo con el vídeo Fractales: Los colores del infinito.